Probleem oplossen: verder puzzelen met domino’s in de rekenles

In onze nieuwsbrief van maart schreef ik een artikel over probleemoplossen met dominostenen. De laatste uitdaging waarmee ik het artikel eindigde, was het probleem om een set reguliere dominostenen te rangschikken over een raster van 8 x 7 eenheden. En dan zodanig dat van alle 28 dominostenen het aantal ogen op elk vierkantje (monomino) overeenstemt met de gegeven getallen in het raster. Wellicht heeft u zelf gepuzzeld? In deze bijdrage wil ik u uitleggen en ook laten zien hoe leerlingen deze vlakpuzzel hebben aangepakt, waarna ik –tja, er is nog wat in het vat- een volgend dominoprobleem beschrijf.

Goed van start..

Allereerst probeer ik altijd de nieuwsgierigheid en verwondering bij de leerlingen op te wekken. In dit geval aan de hand van een wiskunderaadsel. Na verkenning van de domino’s leg ik samen met de leerlingen de stenen omgekeerd op tafel.

“Kies samen een dominosteen en zorg dat ik ‘m niet kan zien. Gezien? Kies een van de getallen van de steen, vermenigvuldig dit getal met 5, tel 7 op bij je antwoord, vermenigvuldig je uitkomst met 2 en tot slot: tel het andere getal van je domino er bij op. Wat is de som?” “We hebben 66” “Precies wat ik al dacht. Je hebt de getallen vijf en twee op je domino staan. Is dat juist?”

Grote verwondering. We herhalen het nog en paar keer. Na systematische notaties (en het handig opschrijven van de getallen als 5 .. 2 i.p.v. 2 .. 5) en wat ‘hulpsuggesties’ van mijn kant, komen de leerlingen er achter dat ik steeds 14 aftrek van hun uitkomst en dat de cijfers van deze uitkomst staan voor de getallen op hun steen (66 – 14 = 52 en dus 5 en 2 op de domino). Ze vinden dit wel tof. Ze weten nog niet waarom dit werkt en hun vaardigheid in hoofdrekenen vereist nog enige oefening, maar de belangstelling is gewekt en de zin om samen aan de slag gaan is binnen.

Nu naar de vlakpuzzel met domino’s

De probleemaanpak van leerlingen wordt in een sterke mate bepaald door het wel of niet voorhanden hebben van concreet materiaal. Geef de leerlingen een set dominostenen en allemaal pakken ze het probleem aan volgens de heuristiek Guess & check (probeer & test). Gebruik van deze strategie kan variëren van een zeer basale tot een meer systematische aanpak. Veel leerlingen begonnen vanuit de basale aanpak door domino’s te passen en in te leggen in het raster zonder daarbij nu zo zeer strategisch te denken en handelen. Deze aanpak kenmerkt zich door: er is materiaal, dus we proberen gewoon, schuiven en roteren wat en we zien wel of het ons lukt. Na enige tijd aanrommelen, hadden veel leerlingen door dat deze benadering van het probleem hen weinig houvast bood richting een oplossing. Ze besefte dat op deze manier een flinke dosis geluk benodigd was om tot een oplossing te komen.

Op dit punt was bij bijna alle leerlingen mijn interventie nodig om hen los te krijgen van hun aanpak om het eigen handelen in relatie tot het oplossen van het probleem onder de loep te nemen.
Na uit hun handelen gehaald te zijn, gingen ze over tot een meer gerichte probleemoriëntatie met als doel meer grip te krijgen op de puzzel en te komen tot een meer efficiëntere aanpak. De enkele en dus vaste posities van enkele domino’s binnen het raster werden verkend.

“De dubbel 2 kan op twee plaatsen. De dubbel 3 ook. De dubbel 2 en dubbel 4 moeten wel hier liggen. De dubbel 6 weten we ook nog niet zeker, maar in elk geval ligt die recht of gedraaid.”

“Hoe bedoel je?”
“Kijk!” “Oh, horizontaal of verticaal. We leggen deze nog even weg, ok?”

“Zullen we de domino’s handig neerleggen, zodat we ze makkelijker kunnen vinden?”
Steeds meer domino’s kwamen vast te liggen op het rooster, waarna via de echte puzzelfase aanvang nam vanuit een concreet experimenteren. Als leerlingen meer strategisch gaan denken en handelen bezigen ze ook mooie ontdektaal, zoals: “Nul-zes kan op twee manieren, maar hij moet hier. Het maakt dan toch niet uit hoe je dubbel 6 en zes-twee neerlegt; ze kunnen allebei niet ergens anders.” “Is dat dan ook bij ‘vier-drie’? Daar heb je toch ook aleen maar vier-drie of drie-vijf?” Leerlingen gaan ook anders hun materiaal structureren om grip te krijgen op de resterende combinaties van de dominostenen.

Hoewel deze vlakpuzzel 36 oplossingsmanieren telt en dus de kans deze op te lossen via Guess & Check redelijk groot te noemen is, lukte het sommige leerlingen toch nog niet een van deze oplossingen te vinden binnen de gegeven tijd. Toen ik een leerlinge na afronding van de puzzel vroeg wat ze geleerd had van haar aanpak, zei ze: “Ik kan beter eerst goed bedenken wat ik moet gaan doen. Ik heb dan sneller een goed plan. Nu begon ik eigenlijk gewoon.” Een mooi voorbeeld van ontwikkeling van metacognitieve zelfinstructies.

Na de gegeven vlakpuzzel opgelost te hebben, wilden enkele de leerlingen een puzzel voor elkaar maken. Er was nu niet genoeg materiaal voorhanden om de puzzel handelend met concreet materialen op te lossen. De leerlingen stapten echter eenvoudig over naar een niveau van representeren via ‘gegevens organiseren in een tabel, stappen visualiseren en systematisch registreren’. Wat opviel was dat de leerlingen nu wel startte vanuit een gerichte probleemoriëntatie. Leerlingen bespraken eerst de condities van dit probleem.

“28 stenen, dus dat zijn 56 vakjes.” “Hoezo?” “ Nou 28 x 2 zijn 56 vakjes en we hebben we ook 56 nodig, want 8 x 7 is ook 56.” “Welke domino’s zijn er allemaal? Dit moeten we eerst weten.” “Laten we ze opschrijven.”

Vervolgens verscheen er een lijst met alle 28 combinaties van de dubbel 0 naar de dubbel 6. De omkeringen zorgden in eerste instantie voor wat verwarring, maar ook dit werd snel opgelost.

Het lijstje: Veranderde in een tabel:

0-0, 0-1, 0-2, 0-3, 0-4, 0-5, 0-6
1-1, 1-2, 1-3, 1-4, 1-5, 1-6,
2-2, 2-3, 2-4, 2-5, 2-6
3-3, 3-4, 3-5, 3, 6
4-4, 4-5, 4-6
5-5, 5-6
6-6

Vervolgens werd systematisch naar de positie van de vaste domino’s gespeurd. Veel leerlingen kozen ervoor om eerst te speuren naar de dubbele domino’s. Deze aanpak van het zoeken naar domino’s met een enkele mogelijkheid bleek nu ook goed te werken om de puzzel systematisch aan te pakken. Deze vast domino’s werden ingekleurd in het raster en weggestreept van het lijstje om stappen te registreren en overzicht te behouden. Posities die in een rechthoek besloten lagen, werden door een groepje leerlingen zelfs bijgetekend om niet te vergeten. Je kon ze dan wel kantelen, maar meer opties op het speelveld waren er niet. Zo waren er meer van deze ‘dansjes’ te maken, zoals bijvoorbeeld: 4-3 en 3-5. Deze strategie werkte voor hen vooral handig in de hoeken van de puzzel. Hoewel de stukken gedraaid konden worden op het speelveld, lag de positie van een domino toch wel vast. De leerlingen kwamen hier goed uit.

Het wel of niet voor handen hebben van concreet materiaal bepaalt dus in grote mate de probleemaanpak van de leerlingen. Als leerkracht kun je hierin sturen. Het werken met materiaal is niet van een lagere orde dan het werken zonder materiaal. Werken zonder materiaal daagt de leerlingen uit te komen tot een andere probleemaanpak. Het ‘ontstijgen’ van de fase van uitvoeren en experimenteren, om via evaluatie van de gekozen aanpak de strategie bij te stellen en het probleem gerichter te analyseren, vereist metacognitieve vaardigheden. Je kunt leerlingen leren strategischer te denken en handelen. Een geschikt probleem, goede regie, zin in leren, interactie en kijken en luisteren naar leerlingen zijn de benodigde ingrediënten.

Nu een nieuwe uitdaging:

We hebben een raster van 8 bij 8 en hebben dus 64 rastereenheden. Met een standaard dominoset van 28 stenen kunnen we slechts 56 rastereenheden bedekken. We zullen dus altijd 8 eenheden moeten laten. Natuurlijk zijn er vele manieren om nu het raster te vullen. Het gaat nu niet om de getallen, dus je kan ook de blinde kant van de domino’s gebruiken.

Maar is het mogelijk om:

a) de domino’s zodanig neer te leggen dat in elke rij en kolom slechts 1 onbedekte eenheid ligt? Dus horizontaal en verticaal kom je nergens per kolom en per rij meer dan 1 onbedekte eenheid tegen.

b) De domino’s zodanig in het raster te positioneren dat nergens onbedekte eenheden in een rechte lijn liggen. Dus niet horizontaal, niet verticaal, maar ook niet verticaal?

Ik ben benieuwd naar uw reacties en praktijkverhalen. Mail mij gerust.

Met dank aan de leerlingen, team en directie van de Herman Faukeliusschool te Middelburg.