Uitdagende denkactiviteiten in de rekenles

leestijd:

Domino is een bekend legspel voor ons volwassenen. Het valt mij op dat dit voor veel leerlingen een vrij onbekend spel is. Goed om rekening mee te houden, mocht je de volgende activiteiten vertalen naar je lespraktijk. Toen ik een groep leerlingen voorstelde om met domino aan de slag te gaan, stonden de steentjes al snel in de opstelling van Domino Day. Dan wel niet in de setting van 4 079 381 steentjes, zoals het geval was in 2006 op –wie weet het nog- Domino D-Day, maar een rij van 28 steentjes die keurig het domino-effect visualiseerde. Hoe zeer deze Domino-Day met haar Aorta, de mus, de jager en vervolgens de dierenbescherming ons destijds in spanning bracht, zo staat het spel Domino vast nog garant voor avonden speelplezier. Maar goed, wij gaan net als de leerlingen het materiaal van dit spel eens anders verkennen, namelijk om ons intellect te scherpen.

Ter introductie
Regulier Domino wordt gespeeld met 28 stenen. Elke dominosteen is een polyvorm bestaande uit twee identieke vierkanten, de zogeheten monomino’s. Een domino is dus verdeeld in twee veldheften die ieder gemerkt is met ogen (of geen). In een standaard dominoset zijn de helften steeds gemerkt met een waarde van 0 tot en met 6 ogen en komen alle combinaties slechts één keer voor. Niets nieuws onder de zon tot dusver. De leerlingen met wie ik de activiteit uitvoerde, bekeken de steentjes even en snapten dit ook wel. Hoewel de vele speelmogelijkheden van het spel op zich vast en zeker wat vertier kan brengen, zocht ik met de leerlingen de uitdaging toch net in een iets andere hoek. Altijd leuk om zelf regels te bedenken en het spelmateriaal net wat anders te gebruiken dan waarvoor het bedoeld is. Zoals reeds eerder geschreven, in deze activiteiten zullen wij de set dominostenen gebruiken om ons wiskundig denken te ontwikkelen. De dominosteentjes zijn ons denkgereedschap; het zal fungeren als ons platform om te komen tot abstract redeneren. Nu aan de slag. Pak jij er ook een set steentjes bij? Download hier een werkblad dominosteentjes.

Een magisch domino-vierkant

Een magisch domino-vierkant is een vierkant waarin de stenen zodanig zijn neergelegd, dat het aantal ogen in elke rij, in elke kolom en in beide diagonalen steeds dezelfde som oplevert. Deze som noemen we het magische getal van het vierkant.

Waarschijnlijk is het idee van het magisch vierkant bij leerlingen wel bekend. Zie dit onderzoek met dominostenen dan als een ‘uitdaging-extra’.

Laten we de volgende stenen uit de dominoset nemen:

Met deze stenen is het in elk geval mogelijk om een magisch domino-vierkant te construeren. Probeer de acht stenen eens zodanig neer te leggen dat er een vierkant van 4 bij 4 monomino’s ontstaat, waarin we het magische getal ontdekken van deze set.

Het magische getal van deze set domino’s is 10. Bestudeer de schikking van de stenen in je oplossing en de set stenen die we hebben aangereikt.

Kies nu zelf je stenen en probeer andere magische domino-vierkanten te leggen van 4 bij 4 monomino’s.

a) Is het mogelijk een magisch domino-vierkant van 5 bij 5 te leggen. Waarom wel of niet?

b)Is het mogelijk een magisch domino-vierkant van 6 bij 6 te leggen. Waarom wel of niet

Als we goed nadenken, weten wij vanuit de regels van deelbaarheid dat het kwadraat van een oneven getal een kwadraatgetal oplevert dat oneven is (oneven x oneven geeft een oneven product). We kunnen de figuur dus nooit geheel vullen met onze domino’s. Leerlingen benoemden dit als ‘een vierkant met een gat’. Zij verwoordden: “3, 5, 7 en 9 kunnen niet. We kunnen de vierkantjes van deze grote vierkanten niet delen door 2”. De leerlingen werd toen de vraag voorgelegd of we deze eigenschap toch kunnen omzetten naar een puzzel met onze dominosteentjes. Dit bracht ons bij de volgende twee puzzels.

Gelijke som langs de zijden, gelijk product langs de zijden

De eerste uitdaging:

Laten we beginnen met het kleinste vierkant dat we kunnen leggen met de domino’s, dus 3 bij 3. We laten geen gaten ontstaan in de randen, dus er ontstaat een leeg veld in het hart van de figuur. Je kunt zo’n figuur zodanig neerleggen dat in elk geval de som van elke zijde gelijk is. Hieronder zie je een voorbeeld.

a) Kun je een ander figuur leggen waarvan de som van de zijden gelijk is?

b) Hoeveel verschillende figuren zijn er te maken?

c) Wat is de figuur met de grootste som langs de zijde? Welke de kleinste?

d) Zou het mogelijk zijn om naast elkaar 7 van deze figuren neer te leggen met alle 28 dominostenen?

Interessant. De leerlingen is het ten tijde van uitvoering niet gelukt om 7 van deze vierkanten met een gat te leggen, waarbij alle stenen dus worden gebruikt (4 x 7 = 28). Toch weet ik dat het mogelijk is. Lukt het jou? Lukt het jouw leerlingen?

De tweede uitdaging:

Is het mogelijk om vier domino’s te selecteren die samen een vierkant van 3 bij 3 monomino’s vormen en waarbij het product van de ogen langs elke zijde van de figuur 12 is? Laten we een voorbeeld geven:

3 x 4 x 1 = 1 x 6 x 2 = 2 x 6 x 1 = 1 x 4 x 3 = 12

Het is dus mogelijk, maar dit is niet echt een uitdagend voorbeeld. We hebben immers te maken met de commutatieve eigenschap van vermenigvuldigen (verwisseleigenschap) en hebben slechts twee interessante vermenigvuldigingen weten te vinden. Kan dit toeval zijn? Probeer het uit!

Laten we de volgende domino’s uit de set nemen en in eerste instantie gebruiken als ons nieuwe speelmateriaal:

Probeer eens op eenzelfde manier vierkanten van 3 bij 3 monomino’s te construeren, waarbij de producten van de ogen langs de zijden respectievelijk : a)18 is, b) 30 is en c) 36 is. Lukt dit?

De leerlingen konden hier goed mee uit de voeten en wisten een voorbeeld te construeren met zijden van 18, 30 en 36. Toch vroegen zij zich af of een oneven product ook mogelijk is met deze stenen. Kan dit?

Verschillende variaties zijn vervolgens mogelijk: vierkanten bestaande uit 6 domino’s met een andere set stenen, waarvan de producten langs de zijn gelijk zijn, domino’s met priemgetallen langs de zijden, etc.. Wie weet wat je zelf of wat jouw leerlingen bedenken voor spel. Tot slot een afsluitende activiteit.

De uitdaging van de dominodoos

Een laatste uitdaging die ik ooit tegenkwam op internet. We ruimen de domino’s op in een rechthoekige doos van 7 bij 8 monomino’s. Op de bodem van de doos staan 8 keer de getallen van 0 t/m 6 weergegeven. In totaal dus 28 getallen. Elk getal verwijst naar het aantal ogen van een monomino van een dominosteen. Kun je de dominostenen zo zijde aan zijde rangschikken dat het aantal ogen steeds overeenkomt met de getallen op de bodem van de doos?